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五 对几何原本的研究（第1页）

五对《几何原本》的研究

奥马在欧几里得几何的研究方面有两项贡献，一是对平行公设的试证，二是对比与比例提出新的见解．

早在9世纪，当欧几里得《几何原本》传入伊斯兰国家后，第五公设就引起学者们的注意．所谓第五公设或平行公设就是在《原本》中提出的公理："如果一直线和两直线相交，所构成的两个同旁内角之和小于两直角，那么，把这两直线延长，它们一定在那两内角的一侧相交．"这公设不论在词句或内容方面都比其它四个公设复杂得多，而且也不那么显而易见．人们自然会发生是否可以证明的疑问．

阿拉伯学者对此公设进行试证的有焦赫里（al－Jawharī），塔比伊本库拉（ThābitibnQurra），伊本海塞姆（Ibnal－Haytham，即Alhazen），奥马海亚姆等人．实质上他们并没有证明了公设，而是采用另外一与之等价的公设来代替它．

奥马在1077年撰写了《辩明欧几里得公设中的难点》（Explanati·n·fthedifficul－tiesies·fEuc－lid）一书，讨论了两个难题，一是平行公设，二是比的问题．他考察四边形ABCD，DA与CB同垂直于AB且DA=CB（图2）．无需用平行公设，很容易证明∠C=∠D．而∠C，∠D的大小有三种可能：（1）等于直角；（2）等于钝角；（3）等于锐角．若采用平行公设．可以证明∠C，∠D等于直角．反之，若能证明∠C，∠D等于直角，便可推出平行公设．奥马用反证法，"证明"钝角、锐角假设必导致矛盾，因此只有直角的情形成立，这就无异证明了平行公设．但他的证明是有缺陷的，实际是引入下述假设来代替平行公设：两条直线如果越来越接近，那么它们必定在这个方向上相交．所以他也未解决平行公设问题．

18世纪时，G．萨凯里（Saccheri）重新研究这个四边形（后人常称之为"萨凯里四边形"），由此得出一系列互不矛盾的命题．他和前人虽然未建立（也未意识到）非欧几何，但已为非欧几何的诞生铺平了道路．